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树链剖分算法总结

树链剖分是一种把树剖分成重链和轻链,并用dfs序储存在线段树中的算法。它可以方便的处理树上路径和子树的问题。把树上数据存在线段树中的思想值得思考。

何为树链剖分?树链,就是树上路径,剖分,就是把树链剖分成轻链和重链。

记siz[v]表示以v为根的子树的节点数,dep[v]表示v的深度,top[v]表示v所在的重链的顶端节点,fa[v]表示v的父亲,son[v]表示重儿子,dfs_id[v]v的dfs序。

先介绍几个概念:

   重儿子:siz[u]为v的子节点中siz值最大的,那么u就是v的重儿子。
   轻儿子:v的其它子节点。
   重边:点v与其重儿子的连边。
   轻边:点v与其轻儿子的连边。
   重链:由重边连成的路径。
   轻链:连接各个重链的边。

这样,很显然的我们就能发现

1.如果(v,u)为轻边,则siz[u] * 2 < siz[v];

2.从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

这两个很好的性质就可以在logn的复杂度下遍历任意一个路径。我们可以两个点同时向上跳,假如是重链就跳到top,不是就跳到父亲。直到跳到两点的top是同一个。跳的同时就可以用线段树维护一下极值、求和啥的。

图片来自网络

images

如何实现呢?

我们可以通过两个dfs实现

第一个

在这个dfs中,可以把siz,fa,dep,son求出来

第二个

这个dfs可以把top,dfs_id求出来

pre就是dfs_id的反函数。。它是当构造线段树时候用的。

构造线段树

val数字存的是每个点的权值。因为线段树用的是dfs序,我们直接调用反函数就可以知道权值

例题是这道

bzoj2157

Description

Ray 乐忠于旅游,这次他来到了T 城。T 城是一个水上城市,一共有 N 个景点,有些景点之间会用一座桥连接。为了方便游客到达每个景点但又为了节约成本,T 城的任意两个景点之间有且只有一条路径。换句话说, T 城中只有N − 1 座桥。Ray 发现,有些桥上可以看到美丽的景色,让人心情愉悦,但有些桥狭窄泥泞,令人烦躁。于是,他给每座桥定义一个愉悦度w,也就是说,Ray 经过这座桥会增加w 的愉悦度,这或许是正的也可能是负的。有时,Ray 看待同一座桥的心情也会发生改变。现在,Ray 想让你帮他计算从u 景点到v 景点能获得的总愉悦度。有时,他还想知道某段路上最美丽的桥所提供的最大愉悦度,或是某段路上最糟糕的一座桥提供的最低愉悦度。

Input

输入的第一行包含一个整数N,表示T 城中的景点个数。景点编号为 0…N − 1。接下来N − 1 行,每行三个整数u、v 和w,表示有一条u 到v,使 Ray 愉悦度增加w 的桥。桥的编号为1…N − 1。|w| <= 1000。输入的第N + 1 行包含一个整数M,表示Ray 的操作数目。接下来有M 行,每行描述了一个操作,操作有如下五种形式: C i w,表示Ray 对于经过第i 座桥的愉悦度变成了w。 N u v,表示Ray 对于经过景点u 到v 的路径上的每一座桥的愉悦度都变成原来的相反数。 SUM u v,表示询问从景点u 到v 所获得的总愉悦度。 MAX u v,表示询问从景点u 到v 的路径上的所有桥中某一座桥所提供的最大愉悦度。 MIN u v,表示询问从景点u 到v 的路径上的所有桥中某一座桥所提供的最小愉悦度。测试数据保证,任意时刻,Ray 对于经过每一座桥的愉悦度的绝对值小于等于1000。

Output

对于每一个询问(操作S、MAX 和MIN),输出答案。

Sample Input

3

0 1 1

1 2 2

8

SUM 0 2

MAX 0 2

N 0 1

SUM 0 2

MIN 0 2

C 1 3

SUM 0 2

MAX 0 2
Sample Output

3

2

1

-1

5

3
HINT

一共有10 个数据,对于第i (1 <= i <= 10) 个数据, N = M = i * 2000。

 

这题有四个操作,区间最大,区间最小,区间和,区间反转

我们该如何操作呢?

首先,找到这两个节点,把高度低的那个往上跳,跳的时候操作一下这个链,最后直到top一样或到同一个点

注意一下,假如不在一个点的话最后还要更新一下。

总代码

还有一种情况就是操作子树

其实这个更简单

我们可以观察一下一棵树的dfs序

images

我们可以观察到子树是在dfs序上连续的一段:dfs_id[i]+1到dfs_id[i]+siz[i]-1

然后直接线段树就行了

例题

树链剖分模版

The end.


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